Estados estacionários

Vamos resolver a equação de Schrödinger para obter a função de onda para diferentes potenciais. Neste capítulo (a não ser que seja dito o contrário), assumiremos que $V=V(x)$ é real e independente do tempo. Dessa forma, podemos usar o método de separação de variáveis para resolver a equação e procurar soluções do tipo:

\Psi\left(x,t\right)=\psi\left(x\right)\varphi\left(t\right)

(1)

Substituindo na equação de Schrödinger nós temos:

\begin{align} i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} & =-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}+V\Psi\\ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left(\psi\varphi\right) & =-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\left(\psi\varphi\right)+V\left(\psi\varphi\right)\\ i\hbar\psi\frac{\partial\varphi}{\partial t} & =-\frac{\hbar^{2}\varphi}{2m}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+V\psi\varphi \end{align}

(2)

Dividindo então por $\psi\varphi$ :

\begin{align} \frac{i\hbar\psi}{\psi\varphi}\frac{\partial\varphi}{\partial t} & =-\frac{\hbar^{2}\varphi}{\psi\varphi2m}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+\frac{V\psi\varphi}{\psi\varphi}\\ \frac{i\hbar}{\varphi}\frac{\partial\varphi}{\partial t} & =-\frac{\hbar^{2}}{\psi2m}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+V \end{align}

(3)

Então, um lado da equação depende apenas do tempo e o outro apenas da posição. A única forma de isso ser válido é se ambos forem iguais a uma constante, pois se temos $f(x)=f(y)$ , isso significa que podemos variar $x$ livremente enquanto $y$ permanece fixo; portanto, $f(y)$ deve ser constante. A única forma de a igualdade ser válida para qualquer valor de $x$ e $y$ é se ambos forem iguais a uma constante, ou seja, $f(x)=f(y)=c$ . Vamos identificar essa constante, por enquanto, como $E$ . Temos então duas equações:

\begin{align} i\hbar\frac{1}{\varphi}\frac{\partial\varphi}{\partial t} & =E\\ \frac{\partial\varphi}{\partial t} & =-\frac{iE}{\hbar}\varphi \end{align}

(4)

\begin{align} -\frac{\hbar^{2}}{\psi2m}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+V & =E\\ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+V\psi & =E\psi \end{align}

(5)

A equação 4 não depende do potencial:^[1]

\begin{align} \frac{\partial\varphi}{\partial t} & =-\frac{iE}{\hbar}\varphi\\ \int\frac{d\varphi}{\varphi} & =-\frac{iE}{\hbar}\int dt\\ \log\left(\varphi\right)+C_{0} & =-\frac{iE}{\hbar}t-\frac{iE}{\hbar}C_{1} \end{align}

(6)

Onde por exemplo $C_{1}$ é uma constante qualquer, então pode absorver os valores constantes $\frac{iE}{\hbar}C_{1}\rightarrow C_{1}$ sem perca de generalidade. A mesma coisa $C_{0}+C_{1}$ . Então:

\begin{align} \log\left(\varphi\right) & =-\frac{iE}{\hbar}t+C\\ \exp\left[\log\left(\varphi\right)\right] & =\exp\left[-\frac{iE}{\hbar}t+C\right]\\ \varphi & =\exp\left[-\frac{iE}{\hbar}t\right]e^{C} \end{align}

(7)

Da mesma forma $e^{C}$ é uma constante qualquer de forma que podemos reescrever $e^{C}\rightarrow C$ . Então:

\varphi=C\exp\left[-\frac{iE}{\hbar}t\right]

(8)

A segunda equação é a equação de Schrödinger independente do tempo e depende do potencial especificado. Então no resto do capítulo nos dedicaremos investigar uma variedade potenciais simples. Soluções dessa forma nos interessam por três motivos:

Em primeiro lugar, são estados estacionários. Escrevendo a solução como:

\Psi\left(x,t\right)=\psi\left(x\right)Ce^{-iEt/\hbar}

(9)

Fazendo $\psi\left(x\right)$ absorver $C$ no fator de normalização a ser descoberto, ficamos apenas com:

\Psi\left(x,t\right)=\psi\left(x\right)e^{-iEt/\hbar}

(10)

Consequentemente a probabilidade de densidade é constante no tempo:

\left|\Psi\left(x,t\right)\right|^{2}=\Psi^{*}\Psi=\left(\psi^{*}\left(x\right)e^{iEt/\hbar}\right)\left(\psi\left(x\right)e^{-iEt/\hbar}\right)=\psi^{*}\psi=\left|\psi\left(x\right)\right|^{2}

(11)

Resultado análogo para os valores esperados:

\begin{align} \left\langle Q\left(x,p\right)\right\rangle & =\int\Psi^{*}\left[Q\left(x,-i\hbar\frac{d}{dx}\right)\right]\Psi dx\\ & =\int\psi^{*}\left(x\right)e^{iEt/\hbar}\left[Q\left(x,-i\hbar\frac{d}{dx}\right)\right]\psi\left(x\right)e^{-iEt/\hbar}dx\\ & =\int\psi^{*}\left(x\right)\left[Q\left(x,-i\hbar\frac{d}{dx}\right)\right]\psi\left(x\right)dx \end{align}

(12)

Consequentemente então o valor esperado é constante no tempo. Além disso, como $\left\langle x\right\rangle =\int x\left|\psi\right|^{2}dx$ é uma integral definida na posição, e que depende só da posição, constante no tempo, consequentemente $\left\langle p\right\rangle =md\left\langle x\right\rangle /dt=0$ .

Em segundo lugar os estados são estados de energia total definida. Na mecânica clássica, a energia total é a soma da energia cinética mais a potencial, e é chamado de hamiltoniano^[2]:

H\left(x,p\right)=\frac{p^{2}}{2m}+V\left(x\right)

(13)

Fazendo então a substituição $p\rightarrow i\hbar\left(\partial/\partial x\right)$ temos:

\widehat{H}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+V\left(x\right)

(14)

Então a equação de Schrödinger independente do tempo pode escrita como:

\begin{align} -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+V\psi & =E\psi\\ \left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+V\right)\psi & =E\psi\\ \widehat{H}\psi & =E\psi \end{align}

(15)

Além disso temos que se aplicarmos $\widehat{H}$ novamente:

\begin{align} \widehat{H}^{2}\psi & =\widehat{H}\left(\widehat{H}\psi\right)=\widehat{H}\left(E\psi\right)=E\left(\widehat{H}\psi\right)=E^{2}\psi \end{align}

(16)

Então temos pro valor esperado:

\left\langle H\right\rangle =\int\psi^{*}\widehat{H}\psi dx=\int\psi^{*}E\psi dx=E\int\psi^{*}\psi dx=E\int\left|\psi\right|^{2}dx=E\int\left|\Psi\right|^{2}dx=E

(17)

Uma vez que como já vimos $\left|\Psi\right|^{2}=\left|\psi\right|^{2}$ , ou seja, a normalização de $\Psi$ está contida em $\psi$ . Também temos de forma análoga:

\left\langle H^{2}\right\rangle =\int\psi^{*}\widehat{H}^{2}\psi dx=E^{2}\int\psi^{*}\psi dx=E^{2}\int\left|\Psi\right|^{2}dx=E^{2}

(18)

E a variância é dada por:

\sigma^{2}_{H}=\left\langle H^{2}\right\rangle -\left\langle H^{2}\right\rangle =E^{2}-E^{2}=0

(19)

Ou seja, temos zero dispersão. O que nos garante que temos certeza do valor que será retornado, sempre que medimos a energia total, iremos obter $E$ .

E o terceiro motivo, matemático, é que a solução geral é uma combinação linear

E o terceiro motivo, matemático, é que a solução geral é uma combinação linear^[3] de soluções separáveis, como veremos. Se denotamos o conjunto de soluções separáveis como $\psi_{1},\psi_{2},\dots,\psi_{n}$ ou apenas $\left\{ \psi_{n}\right\}$ , cada uma delas está associada a uma constante $E_{1},E_{2},\dots,E_{n}$ ou $\left\{ E_{n}\right\}$ , de forma que temos uma função de onda pra cada energia permitida:

\begin{align} \Psi_{1}\left(x,t\right) & =\psi_{1}\left(x\right)e^{-iE_{1}t/\hbar}\\ \Psi_{2}\left(x,t\right) & =\psi_{2}\left(x\right)e^{-iE_{2}t/\hbar}\\ \vdots\\ \Psi_{n}\left(x,t\right) & =\psi_{n}\left(x\right)e^{-iE_{n}t/\hbar} \end{align}

(20)

Então temos uma solução geral dada por:

\Psi\left(x,t\right)=\sum^{\infty}_{n=1}c_{n}\psi_{n}\left(x\right)e^{-iE_{n}t/\hbar}

(21)

Ou ainda:

\Psi\left(x,t\right)=\sum^{\infty}_{n=1}c_{n}\Psi_{n}\left(x,t\right)

(22)

O que faremos no restante do capítulo é encontrar $c_{n}$ e $\psi_{n}$ para diferentes situações (e vale ressaltar que as condições iniciais nem sequer precisam ser contínuas). e no próximo capítulo reescrever este resultado de uma forma mais elegante.

Exemplo: Supondo uma partícula que nos é dado o estado inicial

\Psi\left(x,0\right)=c_{1}\psi_{1}\left(x\right)+c_{2}\psi_{2}\left(x\right)

(23)

Assumindo que as funções e as constantes são reais, queremos saber qual é a função de onda de $\Psi\left(x,t\right)$ nos tempos seguintes, encontrar a densidade de probabilidade e descrever seu movimento.

Isso é bastante direto, pois é apenas:

\begin{align} \Psi\left(x,t\right) & =\sum^{\infty}_{n=1}c_{n}\psi_{n}\left(x\right)e^{-iE_{n}t/\hbar}\\ & =\sum^{2}_{n=1}c_{n}\psi_{n}\left(x\right)e^{-iE_{n}t/\hbar} \end{align}

(24)

Já que para $n>2$ temos $c_{n}\psi_{n}=0$ . Ou então:

\Psi\left(x,t\right)=c_{1}\psi_{1}\left(x\right)e^{-iE_{1}t/\hbar}+c_{2}\psi_{2}\left(x\right)e^{-iE_{2}t/\hbar}

(25)

A densidade de probabilidade é então:

\begin{align} \left|\Psi\left(x,t\right)\right|^{2} & =\left(c_{1}\psi_{1}e^{iE_{1}t/\hbar}+c_{2}\psi_{2}e^{E_{2}t/\hbar}\right)\left(c_{1}\psi_{1}e^{-iE_{1}t/\hbar}+c_{2}\psi_{2}e^{-iE_{2}t/\hbar}\right)\\ & =c^{2}_{1}\psi^{2}_{1}+c^{2}_{2}\psi^{2}_{2}+2c_{1}c_{2}\psi_{1}\psi_{2}\exp\left[iE_{1}t/\hbar-iE_{2}t/\hbar\right]\\ & =c^{2}_{1}\psi^{2}_{1}+c^{2}_{2}\psi^{2}_{2}+c_{1}c_{2}\psi_{1}\psi_{2}\exp\left[\left(E_{1}-E_{2}\right)t/\hbar\right]+c_{1}c_{2}\psi_{1}\psi_{2}\exp\left[\left(E_{2}-E_{1}\right)t/\hbar\right]\\ & =c^{2}_{1}\psi^{2}_{1}+c^{2}_{2}\psi^{2}_{2}+c_{1}c_{2}\psi_{1}\psi_{2}\left(\exp\left[\left(E_{1}-E_{2}\right)t/\hbar\right]+\exp\left[\left(E_{2}-E_{1}\right)t/\hbar\right]\right) \end{align}

(26)

Sendo a fórmula de Euler:

\begin{align} e^{i\theta} & =\cos\theta+i\sin\theta\\ e^{\left(E_{1}-E_{2}\right)t/\hbar}+e^{\left(E_{2}-E_{1}\right)t/\hbar} & =\cos\left[\frac{\left(E_{1}-E_{2}\right)t}{\hbar}\right]+i\sin\left[\frac{\left(E_{1}-E_{2}\right)t}{\hbar}\right]\dots\\ & \dots+\cos\left[\frac{\left(E_{2}-E_{1}\right)t}{\hbar}\right]+i\sin\left[\frac{\left(E_{2}-E_{1}\right)t}{\hbar}\right]\\ & =\cos\left[\frac{\left(E_{1}-E_{2}\right)t}{\hbar}\right]+i\sin\left[\frac{\left(E_{1}-E_{2}\right)t}{\hbar}\right]\dots\\ & \dots+\cos\left[-\frac{\left(E_{1}-E_{2}\right)t}{\hbar}\right]+i\sin\left[-\frac{\left(E_{1}-E_{2}\right)t}{\hbar}\right]\\ & =\cos\left[\frac{\left(E_{1}-E_{2}\right)t}{\hbar}\right]+i\sin\left[\frac{\left(E_{1}-E_{2}\right)t}{\hbar}\right]\dots\\ & \dots+\cos\left[\frac{\left(E_{1}-E_{2}\right)t}{\hbar}\right]-i\sin\left[-\frac{\left(E_{1}-E_{2}\right)t}{\hbar}\right]\\ & =2\cos\left[\frac{\left(E_{1}-E_{2}\right)t}{\hbar}\right] \end{align}

(27)

Então:

\left|\Psi\left(x,t\right)\right|^{2}=c^{2}_{1}\psi^{2}_{1}+c^{2}_{2}\psi^{2}_{2}+2c_{1}c_{2}\psi_{1}\psi_{2}\cos\left[\frac{\left(E_{1}-E_{2}\right)t}{\hbar}\right]

(28)

Ou seja, devido ao termo oscilatório, podemos dizer que ela não está em um estado estacionário, mas oscila entre os dois estados. Claro que isto não diz respeito à trajetória no sentido clássico, mas à probabilidade de encontrarmos a partícula em diferentes regiões do espaço. O significado físico do conjunto $\{c_{n}\}$ , isto é, o que ele representa fisicamente, é que $\left|c_{n}\right|^{2}$ é a probabilidade de que a medida da energia retorne o valor $E_{n}$ . A explicação disso fica para o próximo capítulo. Ainda vale comentar que existe uma tendência errada de dizer que você vai medir a partícula no estado $\psi_{n}$ , mas essa é uma linguagem incorreta. O que obtemos quando fazemos uma medida é um observável, um número; obtemos $E_{n}$ , e não uma função.

–

Ou seja, uma medida da energia sempre vai retornar um dos valores possíveis, e $\left|c_{n}\right|^{2}$ é a probabilidade de obtermos o valor $E_{n}$ em particular. De forma que é óbvio que:

\sum^{\infty}_{n=1}\left|c_{n}\right|^{2}=1

(29)

Dessa forma também podemos escrever que:

\left\langle H\right\rangle =\sum^{\infty}_{n=1}E_{n}\left|c_{n}\right|^{2}

(30)

Uma vez que, como vimos, o valor médio de $j$ , se a probabilidade de obtermos $j$ é escrita por $P\left(j\right)$ , é dada por $\left\langle j\right\rangle =\sum_{j}jP\left(j\right)$ . Vale lembrar que, anteriormente, vimos que uma solução separável $\psi_{n}\left(x\right)$ sempre retorna $E_{n}$ se medirmos a energia. Porém, o que temos agora é que $\Psi\left(x,t\right)$ é uma é uma superposição de várias soluções separáveis, onde temos a probabilidade dada por $\left|c_{n}\right|^{2}$ de medirmos uma energia $E_{n}$ associada à solução separável $\psi_{n}\left(x\right)$ .

Também vale destacar que tudo isso é independente do tempo, desde as probabilidades de obter determinada energia até, consequentemente, os valores esperados de $\widehat{H}$ . Essas são manifestações da conservação de energia.

Exemplo: Prove os seguintes teoremas:

a) Para uma solução normalizável, então $E$ deve ser real.

b) A função de onda independente do tempo $\psi$ $\left(x\right)$ sempre pode ser considerado real. Ou seja, sempre podemos expressar $\psi\left(x\right)$ como uma combinação linear de soluções reais.

c) $V\left(x\right)$ é uma função par então $\psi$ pode ser uma função par ou ímpar.

Vamos escrever $E=E_{0}+i\Gamma$ , onde $E_{0}$ e $\Gamma$ são reais, conforme sugerido. Logo:

\Psi\left(x,t\right)=\psi\left(x\right)e^{-iEt/\hbar}=\psi\left(x\right)e^{-i\left(E_{0}+i\Gamma\right)t/\hbar}=\psi\left(x\right)e^{-iE_{0}t/\hbar}e^{\Gamma t/\hbar}

(31)

Então:

\left|\Psi\left(x,t\right)\right|^{2}=e^{2\Gamma t/\hbar}\left|\psi\left(x\right)\right|^{2}

(32)

Mas então:

\int^{+\infty}_{-\infty}\left|\Psi\left(x,t\right)\right|^{2}dx=\int^{+\infty}_{-\infty}e^{2\Gamma t/\hbar}\left|\psi\left(x\right)\right|^{2}dx=e^{2\Gamma t/\hbar}\int^{+\infty}_{-\infty}\left|\psi\left(x\right)\right|^{2}dx=e^{2\Gamma t/\hbar}

(33)

Porém se é normalizável, precisamos que $\int^{+\infty}_{-\infty}\left|\Psi\left(x,t\right)\right|^{2}dx=1$ . Colocado dessa forma, isso é válido para $t=0$ , mas a única forma então garantirmos que a função de onda permanece normalizada todo o tempo é se $\Gamma=0$ . Logo $E$ precisa ser real.

O segundo teorema que queremos provar, é que $\psi$ $\left(x\right)$ sempre pode ser considerado real. Vamos partir da equação de Schrödinger inependente do tempo. Se $\psi_{1}$ e $\psi_{2}$ são soluções, qualquer combinação linear $\psi=c_{1}\psi_{1}+c_{2}\psi_{2}$ também é uma solução.

\begin{align} -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+V\psi & =E\psi\\ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\left(c_{1}\psi_{1}+c_{2}\psi_{2}\right)+V\left(c_{1}\psi_{1}+c_{2}\psi_{2}\right) & =\\ c_{1}\left[-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\psi_{1}+V\psi_{1}\right]+c_{2}\left[-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\psi_{2}+V\psi_{2}\right] & =\\ c_{1}E\psi_{1}+c_{2}E\psi_{2} & =\\ E\left(c_{1}\psi_{1}+c_{2}\psi_{2}\right) & =\\ E\psi & = \end{align}

(34)

Então só precisamos mostrar que uma função de onda qualquer $\psi$ , mesmo que seja complexa, pode ser escrita como uma soma de funções reais $\psi_{1}$ e $\psi_{2}$ multiplicando por constantes $c_{1}$ e $c_{2}$ . Primeiro queremos escrever então

\psi=c_{1}\psi_{1}+c_{2}\psi_{2}=\textrm{Re}\left(\psi\right)+i\textrm{Im}\left(\psi\right)

(35)

Então se $c_{1}=1$ , $c_{2}=i$ e $\psi_{1}$ e $\psi_{2}$ são a parte real e imaginária de $\psi$ , então esta também é uma solução válida pra equação de Schoedinger e podemos escrever $\psi$ como uma combinação linear de funções reais $\psi_{1}$ e $\psi_{2}$ . Temos:

\begin{align} \psi & =\textrm{Re}\left(\psi\right)+i\textrm{Im}\left(\psi\right)\\ \psi^{*} & =\textrm{Re}\left(\psi\right)-i\textrm{Im}\left(\psi\right) \end{align}

(36)

Se somamos então:

\begin{align} \psi+\psi^{*} & =\left[\textrm{Re}\left(\psi\right)+i\textrm{Im}\left(\psi\right)\right]+\left[\textrm{Re}\left(\psi\right)-i\textrm{Im}\left(\psi\right)\right]\\ \psi+\psi^{*} & =2\textrm{Re}\left(\psi\right)\\ \frac{\psi+\psi^{*}}{2} & =\textrm{Re}\left(\psi\right) \end{align}

(37)

E subtraindo:

\begin{align} \psi-\psi^{*} & =\left[\textrm{Re}\left(\psi\right)+i\textrm{Im}\left(\psi\right)\right]-\left[\textrm{Re}\left(\psi\right)-i\textrm{Im}\left(\psi\right)\right]\\ \psi-\psi^{*} & =2\textrm{Im}\left(\psi\right)\\ \frac{\psi-\psi^{*}}{2} & =2\textrm{Im}\left(\psi\right) \end{align}

(38)

Então:

\begin{align} \psi & =\textrm{Re}\left(\psi\right)+i\textrm{Im}\left(\psi\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\psi+\psi^{*}\right)+\frac{i}{2}\left(\psi-\psi^{*}\right) \end{align}

(39)

De certa forma, agora só queremos garantir que $\psi^{*}$ também seja uma solução. Mas se:

-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+V\psi=E\psi

(40)

Logo se tomamos o complexo conjugado, sendo $V$ e $E$ reais: ^[4]:

-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\psi^{*}}{\partial x^{2}}+V\psi^{*}=E\psi^{*}

(41)

Então, se escrevemos $\psi_{1}=\psi+\psi^{*},$ como $\psi$ e $\psi^{*}$ são soluções, então $\psi_{1}$ também é. Essa é uma função real que representa a parte real de $\psi$ . Da mesma forma, $\psi_{2}=\psi-\psi^{*}$ também é uma função real que representa a parte imaginária de $\psi$ e também é solução. Por consequência, $\psi=\frac{1}{2}\psi_{1}+\frac{i}{2}\psi_{2}$ necessariamente também é uma solução, onde escrevemos a função complexa $\psi$ como uma combinação linear das funções reais $\psi_{1}$ e $\psi_{2}$ .

E o terceiro teorema diz que se $V\left(x\right)$ é uma função par ( $V\left(-x\right)=V\left(x\right)$ ) então $\psi$ pode ser uma função par $\psi\left(-x\right)=\psi\left(x\right)$ ou ímpar $\psi\left(-x\right)=-\psi\left(x\right)$ . Vamos começar construindo uma função par de $\psi\left(x\right)$ , isto é, que elimina a parte ímpar:

\psi_{+}\left(x\right)\equiv\psi\left(x\right)+\psi\left(-x\right)

(42)

Podemos pensar por exemplo se

f\left(x\right)=x+x^{2}

(43)

Então:

\begin{align} f_{+}\left(x\right) & =f\left(x\right)+f\left(-x\right)\\ & =\left(x+x^{2}\right)+\left(-x+\left(-x\right)^{2}\right)\\ & =x+x^{2}-x+x^{2}\\ & =2x^{2} \end{align}

(44)

Ou seja, eliminamos a parte ímpar da função e ficamos com a parte par duplicada, mas a função resultante é simétrica. De forma análoga, podemos remover a parte par com:

\psi_{+}\left(x\right)\equiv\psi\left(x\right)-\psi\left(-x\right)

(45)

Usando o mesmo exemplo:

f_{+}\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(-x\right)=\left(x+x^{2}\right)-\left(-x+x^{2}\right)=2x

(46)

Então podemos escrever a função de onda como uma combinação linear de funções pares e ímpares

\psi=\frac{1}{2}\left(\psi_{+}\left(x\right)+\psi_{-}\left(x\right)\right)

(47)

Ou:

\psi=\frac{1}{2}\left(\psi_{+}\left(x\right)+\psi_{-}\left(x\right)\right)

(48)

Nós já vimos que uma combinação linear das soluções também é uma solução. Agora só nos resta ver que $\psi\left(-x\right)$ também é solução. temos:

-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\psi\left(-x\right)}{\partial x^{2}}+V\left(-x\right)\psi\left(-x\right)=E\psi\left(-x\right)

(49)

Se é par, temos simplesmente:

-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\psi\left(x\right)}{\partial x^{2}}+V\left(x\right)\psi\left(x\right)=E\psi\left(x\right)

(50)

E se é ímpar:

\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\psi\left(x\right)}{\partial x^{2}}-V\left(x\right)\psi\left(x\right)=-E\psi\left(x\right)

(51)

Basta multiplicarmos por $\left(-1\right)$ para retomar a equação original^[5].

Exemplo: Mostre que $E$ deve exceder o valor mínimo de $V\left(x\right)$ pra qualquer solução normalizável da equação de Schrödinger independente do tempo e qual é o análogo clássico desta declaração?

Partindo da equação de Schrödinger independente do tempo, temos:

\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\psi(x)}{\partial x^{2}}=\left(V(x)-E\right)\psi(x)

(52)

Isso implica que o sinal da segunda derivada de $\psi$ deve ser o mesmo do sinal de $\left(V(x)-E\right)\psi(x)$ . Para analisar, precisamos lembrar o significado das derivadas:

A primeira derivada indica se uma função $f(t)$ está aumentando ( $f'>0$ ) ou diminuindo ( $f'<0$ ), ou se está em um ponto crítico ( $f'=0$ ).
A segunda derivada indica se a primeira derivada está aumentando ( $f''>0$ ) ou diminuindo ( $f''<0$ ).

Uma boa analogia é a de um carro:

$x(t)$ indica a posição do carro em relação a um ponto de referência (origem).
A primeira derivada $x'(t)=v(t)$ é a velocidade, indicando se o carro se move para a direita ( $v>0$ ) ou para a esquerda ( $v<0$ ).
A segunda derivada $x''(t)=a(t)$ é a aceleração.

Se $E<V_{\min}$ , então $V(x)-E>0$ para todo $x$ , e a equação indica que o sinal da segunda derivada da função de onda $\psi(x)$ é o mesmo da função $\psi(x)$ em si. Na analogia, se o carro está em uma posição positiva (à direita da origem), a aceleração será sempre positiva, isto é se $\psi(x)$ é positivo e sua segunda derivada é positiva, isso implica que $\psi(x)$ tende a crescer sem limites, indo para o infinito quando $x\to\infty$ .

Analogamente, um carro em uma posição positiva com velocidade positiva e aceleração positiva jamais retornaria à origem, ele aceleraria cada vez mais para longe, o que não é permitido para uma função de onda normalizável, pois ela deve tender a zero no infinito. Se a velocidade for negativa, a aceleração positiva vai forçar uma mudança no sinal da velocidade levando ao mesmo caso anterior onde o carro termina por ir para o infinito. Se antes do sinal da velocidade se inverter, o carro passar pela origem, então agora a aceleração negativa combinado com a velocidade negativa moverá o carro para o infinito pelo sentido negativo.

Portanto, se $E<V_{\min}$ , não existem soluções normalizáveis para a equação de Schrödinger, pois a função de onda diverge em algum limite. A analogia clássica deste resultado é que a energia total de uma partícula nunca pode ser menor do que sua energia potencial mínima.

Footnotes¶

Vale lembrar que usamos $\frac{\partial\Psi}{\partial t}$ pois $\Psi(x,t)$ depende de posição e tempo, mas $\varphi(t)$ depende apenas do tempo. Portanto, escrevemos $\frac{\partial\varphi}{\partial t}$ apenas por ’herança’. Poderíamos (e talvez deveríamos) denotar por $\frac{d\varphi}{dt}$ .
↩
Acredito ter estudado isso no livro “Mecânica Analítica” do Nivaldo A. Lemos.
↩
Uma combinação linear é uma expressão construída a partir de um conjunto de funções, multiplicando cada uma por uma constante e somando os resultados. Por exemplo, uma combinação linear de $f_{1}(x)$ e $f_{2}(x)$ é dada por: $f(x)=c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x)$ .
↩
Já provamos que $E$ deve ser real, $V\left(x\right)$ deve ser real para garantir que $\widehat{H}$ seja hermitiano, pelo menos quando estamos nessa discussão onde $\psi$ e $V$ dependem apenas da posição e temos uma separação de variáveis de modo que $E$ é a constante de separação.
Em uma representação matricial, a matriz é hermitiana se ela é igual à sua transposta conjugada. Por hora, estamos assumindo implicitamente que o Hamiltoniano é hermitiano para garantir que seus autovalores $E$ sejam reais.
↩
Honestamente eu não entendi exatamente o que o enunciado pediu, mas espero estar respondido.
↩